Curso Completo de Electrónica Digital Simplificación de funciones booleanas


Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Curso Completo de Electrónica Digital. 3.7. Simplificación de funciones booleanas"

Transcripción

1 CURSO Curso Completo de Electrónica Digital Departamento de Electronica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid Prof. Juan González Gómez Capítulo 3 ALGEBRA DE BOOLE Continuación Simplificación de funciones booleanas Introducción En las matemáticas con números Reales, estamos muy acostumbrados a simplificar. De hecho es lo que nos han enseñado desde pequeños. Si una determinada expresión la podemos simplificar, por qué no hacerlo?, así seguro que nos ahorramos cálculos. Por ejemplo, si vemos la siguiente ecuación:

2 lo primero que hacemos es simplificarla, aplicando primero que quedando: que todavía puede ser simplificada más, dividiendo por 2: Una vez simplificada es mucho más fácil trabajar. Cuando estamos diseñando circuitos digitales, utilizaremos funciones booleanas para describirlos. Y antes de implementarlos, es decir, antes de convertir las ecuaciones a componentes electrónicos (puertas lógicas) tenemos que simplificar al máximo. Una de las misiones de los Ingenieros es diseñar, y otra muy importante es optimizar. No basta con realizar un circuito, sino que hay que hacerlo con el menor número posible de componentes electrónicos. Y esto es lo que conseguimos si trabajamos con funciones simplificadas. Las funciones booleanas se tienen que simplificar al máximo, para diseñar los circuitos con el menor número de componentes electrónicos. Y este será uno de los grandes caballos de batalla de esta asignatura: la simplificación de las funciones. Esta simplificación la podemos realizar de dos maneras diferentes: 1. Utilizando las propiedades y Teoremas del Algebra de Boole. Se denomina método analítico de simplificación de funciones. Hay que manejar muy bien estas propiedades para poder eliminar la mayor cantidad de términos y variables. 2. Utilizando el método de Karnaugh. Es un método gráfico que si lo aplicamos bien, nos garantiza que obtendremos la función más simplificada posible, a partir de una tabla de verdad. Normalmente las formas canónicas no son las expresiones más simplificadas.

3 Método analítico de simplificación de funciones Desgraciadamente no exite tal método!!... Hay que basarse en la experiencia y en el conocimiento de las propiedades y teoremas del Algebra de Boole. Lo mejor es ver un ejemplo: Ejemplo: Simplificar la siguiente función: Vamos a intentar aplicar la propiedad distributiva, lo que normalmente llamamos sacar factor común. Operando con los términos 1 y 3: Operando con los términos 2 y 4: La función que nos queda es: Tanto la función inicial, como la que hemos obtenido son funciones equivalentes. Tienen la misma tabla de verdad, sin embargo, la segunda está mucho más simplificada: sólo tiene dos sumandos y cada sumando tiene sólo dos variables. Ejemplo: Simplificar la siguiente función:

4 Si nos fijamos, vemos que podemos reordenar la función de manera que quede: y puesto que y cualquier cosa multiplicada por 0 es 0, al final nos queda: Método de Karnaugh En este apartado veremos un método para obtener la función más simplificada a partir de una tabla de verdad. Vamos a ir poco a poco, viendo los fundamentos de este método. Supongamos que tenemos una función F(A,B,C) de tres variables, cuya tabla de verdad es: Si la desarrollamos por la primera forma canónica obtenemos: Veremos como aplicando el método de Karnaugh podemos simplificar esta función.vamos a organizar esta misma tabla de la siguiente manera:

5 Observamos lo siguiente: En total hay 8 casillas, cada una correspondiente a una fila de la tabla de verdad. En cada casilla está colocado el valor de la función F, correspondiente a esa entrada. En latabla de verdad hay dos filas en las que F=0 y 6 filas en las que F=1. En el nuevo diagrama hay dos casillas con 0 y 6 con 1. Hay dos filas, en al primera fila están todos los valores de F correspondientes a A=0, y en la segunda correspondientes a A=1. Hay 4 columnas, y el número que está en la parte superior de cada una de ellas nos indica los valores de las variables B y C en esa columna. Dada una casilla cualquiera, mirando el número situado en la misma fila, a la izquierda del todo nos informa del valor de la variable A y los dos valores superiores, en la misma columna, nos dan los valores de B y C. Así por ejemplo, si tomamos como referencia la casilla que está en la esquina inferior derecha, se corresponde con el valor que toma F cuando A=1, B=1 y C=0. Entre dos casillas adyacentes cualesquiera, sólo varía una variable de entrada, quedando las otras dos con los mismos valores. Por ejemplo, si estamos en la casilla inferior derecha, en la que A=1, B=1 y C=0. Si vamos a la casilla que está a su izquierda obtenemos un valor de las variables de: A=1, B=1, C=1. Si lo comparamos los valores de las variables correspondientes a la casilla anterior, vemos que sólo ha cambiado una de las tres variables, la C. Lo mismo ocurre si nos desplazamos a cualquier otra casilla adyacente. Ahora vamos a ver una propiedad mágica de esta tabla. Si obtenemos la primera forma canónica, obtenemos una función con 6 términos. Vamos a fijarnos sólo en los términos que obtenemos si desarrollamos sólo dos casillas adyacentes, como por ejemplos las marcadas en gris en la figura:

6 Los valores de las variables en estas casillas son: A=1, B=1, C=1 y A=1, B=1, C=0. Si obtenemos los términos de la primera forma canónica y los sumamos: Se nos han simplificado!! Es decir, por el hecho de agrupar los términos obtenidos de estas dos casillas y sumarlos, se han simplificado. Y esto es debido a la propiedad antes comentada de que entre dos casillas adyacentes sólo varía una de las variables, de manera que podemos sacar factor común. Estos dos términos son los sumandos 5 y 6 de la primera forma canónica obtenida anteriormente, que al sumarlos y aplicar aglunas propiedades se han simplificado. Si nos fijamos en estas dos casillas adyacentes, la variable C, que es la única que varía de una a otra, ha desaparecido en la suma. De esta manera podemos afirmar lo siguiente: Si tomamos dos casillas adyacentes cuyo valor es 1 y desarrollamos por la primera forma canónica, desaparecerá una de las variables. Sólo permanecen las variables que no cambian de una casilla a otra. De esta manera, vamos a ver qué pasa si tomamos los siguientes grupos: y sumamos los términos de estos grupos:

7 Por tanto, la función F también la podemos expresar como suma de estos grupos: Y está más simplificada que la forma canónica!! Pero... Se puede simplificar más? Si!. Inicialmente la función F tenía 6 sumandos, puesto que tenía 6 unos. Al hacer 3 grupos, ahora tiene 3 sumandos. Podemos reducir el número de grupos? Si, vamos a ver qué pasa si tomamos los siguientes grupos: Ahora sólo hay 2 grupos. El nuevo grupo 2 está constituido por 4 casillas en las que F=1. La expresión de este grupo se obtiene sumando las expresiones de estas 4 casillas. Las nuevas expresiones de los grupos quedarían: La nueva función F que obtenemos es:

8 Que está más simplificada que la anterior!! Pero... Es la más simplificada? No, todavía podemos simplificarla más. Por qué no podemos tomar 2 grupos de 4 casillas adyacentes?. Tomemos los grupos siguientes: Las nuevas expresiones de los grupos son: Por tanto, la nueva función F simplificada es: Esta función está simplificada al máximo!!! Criterio de máxima simplificación: Para obtener una función que no se puede simplificar más hay que tomar el menor número de grupos con el mayor número de 1 en cada grupo. Hay que tener en cuenta que los grupos de unos que se tomen sólo pueden tener un tamaño de 1, 2, 4, 8, 16,... (es decir, sólo potencias de dos). Esa es la razón por la que en el ejemplo anterior los grupos que se han tomado son de tamaño 4 (y no se han tomado de tamaño 3). Fijémonos en todas las funciones que hemos obtenido anteriormente:

9 Todas son funciones booleanas equivalentes!! (Porque tienen la misma tabla de verdad). Pero es la función F3 la que usamos!! Sómos Ingenieros y queremos optimizar al máximo!!! Ejemplo Veamos con un ejemplo cómo podemos aplicar directamente el criterio para obtener una función simplificada. Dada la siguiente tabla de verdad, obtener la expresión de F más simplificada posible: Colocamos la tabla de verdad como un diagrama de Karnaugh y hacer tres grupos de dos unos: La función F la obtenemos sumando las expresiones de los tres grupos, siendo cada uno de ellos el producto de las dos variables booleanas que permanecen sin cambios dentro de cada grupo:

10 Como hemos aplicado correctamente el criterio de máxima simplificación, tenemos la certeza absoluta de que esta es la expresión más simplificada posible para la función F. A la hora de formar los grupos hay que tener en cuenta que las casillas situadas más a la derecha de la tabla son adyacentes a las que están más a la izquierda. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Simplificar la siguiente función, utilizando el método de Karnaugh: Lo representamos en un diagrama de Karnaugh y tomamos el siguiente grupo: con el que obtenemos la siguiente función simplificada:

11 Funciones de 4 variables Y qué ocurre si tenemos una función de 4 variables? La idea es la misma pero tendremos una tabla más grande. El criterio de máxima simplificación es el mismo: hacer el menor número posible de grupos con el máximo número de 1 s. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Dada la siguiente tabla de verdad, obtener la expresión de F más simplificada posible: Lo primero que hacemos es pasarlo a un diagrama de Karnaugh, de la siguiente manera (cuidado de no confundirse!!):

12 Vemos que ahora en la izquierda de la tabla están los valores de las variables A y B y en la parte superior los valores de C y D. Lo siguiente es agrupar los 1 s. Vamos a hacer primero los siguientes grupos: La expresión que obtenemos es: Sin embargo, es esta la función más simplificada? O lo que es lo mismo, podemos hacer menos grupos de 1 s. La respuesta es sí, porque no olvidemos que las casillas de la derecha son adyacentes a las de la izquierda de la tabla, por lo que podemos hacer sólo dos grupos: Un grupo es de 8 unos y el otro de 4. Obtenemos la siguiente función:

13 Esta sí es la más simplificada. Ejercicios: Hacer el ejercicio 9. Continuará... Nota de Radacción: El lector puede descargar este capítulo y capítulos anteriores del curso desde la sección Artículos Técnicos en el sitio web de EduDevices ( )

Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes:

Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes: Función booleana Se denomina función lógica o booleana a aquella función matemática cuyas variables son binarias y están unidas mediante los operadores del álgebra de Boole suma lógica (+), producto lógico

Más detalles

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de primer grado º ESO - º ESO Definición, elementos y solución de la ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad del tipo a b donde a y b son números reales conocidos,

Más detalles

DISEÑO Y SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS LÓGICOS

DISEÑO Y SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS LÓGICOS >PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO < 1 DISEÑO Y SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS LÓGICOS Cesar Velásquez Celis, Cristian Camilo Peña Guevara, Neidy Yised Carvajal Londoño. Programa

Más detalles

CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Parte A: determinantes. A.1- Definición. Por simplificar, consideraremos que a cada matriz cuadrada se le asocia un número llamado determinante que se

Más detalles

Algebra de Boole y simplificación de funciones lógicas. Capítulo 4

Algebra de Boole y simplificación de funciones lógicas. Capítulo 4 Algebra de Boole y simplificación de funciones lógicas Capítulo 4 Contenido 1. Expresiones y operaciones Booleanas 2. Propiedades y Reglas del Algebra de Boole 3. Teoremas de DeMorgan 4. Análisis booleano

Más detalles

Álgebra de BOOLE. Tema 4

Álgebra de BOOLE. Tema 4 Álgebra de BOOLE Tema 4 1. Definición formal del álgebra de Boole. 2. Leyes y reglas del álgebra de Boole. 3. Operaciones y expresiones booleanas. 4. Formas canónicas de las expresiones booleanas. 5. Expresiones

Más detalles

Curso Completo de Electrónica Digital

Curso Completo de Electrónica Digital CURSO Curso Completo de Electrónica Digital Departamento de Electronica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid Prof. Juan González Gómez Capítulo 3 ALGEBRA DE BOOLE 3.1. Introducción

Más detalles

Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.

Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. La llamada álgebra de Boole es una estructura algebraica que rigoriza las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones de unión, intersección y complemento que se pueden dar entre

Más detalles

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas Expresiones algebraicas Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas Elementos de una expresión algebraica Números de cualquier tipo Letras Signos de operación: sumas, restas, multiplicaciones y

Más detalles

Teoremas de Circuitos

Teoremas de Circuitos 1 Teoremas de Circuitos Existen varios métodos para simplificar la resolución de circuitos eléctricos y que son básicos para la aplicación de la Electrotecnia a otras disciplinas relacionadas como los

Más detalles

1 Números racionales

1 Números racionales 8 _ 0-0.qxd //0 : Página Números racionales INTRODUCCIÓN Esta unidad desarrolla conceptos y técnicas ya conocidos de otros cursos. Sin embargo, es conveniente repasar las distintas interpretaciones que

Más detalles

VALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO)

VALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO) VALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO) En trigonometría plana, es fácil de encontrar el valor exacto de la función seno y coseno de los ángulos de 30, 5 y 60, gracias a la ayuda de

Más detalles

TEMA 2: EL INTERÉS SIMPLE

TEMA 2: EL INTERÉS SIMPLE TEMA 2: EL INTERÉS SIMPLE 1.- CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1.- CÁLCULO DEL INTERÉS: Recibe el nombre de capitalización simple la ley financiera según la cual los intereses de cada periodo de capitalización

Más detalles

Un sistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas, se puede escribir como sigue:

Un sistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas, se puede escribir como sigue: MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES Juan Jesús Pascual SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES A. Introducción teórica B. Ejercicios resueltos A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA Sistemas de ecuaciones lineales

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 3 Unidad 2 Cuanto más, mejor y viceversa

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 3 Unidad 2 Cuanto más, mejor y viceversa Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 3 Unidad 2 Cuanto más, mejor y viceversa Seguro que alguna vez has tenido en tus manos algún cuadernillo de pasatiempos o has realizado algún test psicotécnico

Más detalles

UNIDAD 5. FRACCIONES Y OPERACIONES

UNIDAD 5. FRACCIONES Y OPERACIONES UNIDAD. FRACCIONES Y OPERACIONES. FRACCIONES.. LA FRACCIÓN COMO OPERADOR Y COMO NÚMERO.. FRACCIONES EQUIVALENTES.. REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR.. OPERACIONES CON FRACCIONES.. FRACCIONES

Más detalles

Oliverio J. Santana Jaria. Sistemas Digitales Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Curso 2006 2007

Oliverio J. Santana Jaria. Sistemas Digitales Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Curso 2006 2007 Oliverio J. Santana Jaria Sistemas Digitales Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Curso 2006 2007 7. Álgebra de Boole Este El que éxito resulta de la diseñar tecnología y fabricar digital circuitos

Más detalles

TEMA 4. Diseño de Sistemas Combinacionales SSI.

TEMA 4. Diseño de Sistemas Combinacionales SSI. Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales T4-1 TEMA 4. Diseño de Sistemas Combinacionales SSI. INDICE: SISTEMAS COMBINACIONALES METODOLOGÍA DE DISEÑO MÉTODOS DE SIMPLIFICACIÓN o MAPAS DE

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones y Matrices

Sistemas de Ecuaciones y Matrices Sistemas de Ecuaciones y Matrices 0.1 Sistemas de ecuaciones Consideremos las gráficas de dos funciones f y g como en la figura siguiente: P Q y = fx y = gx En la práctica, en ocasiones hay que encontrar

Más detalles

PRÁCTICO: : POLINOMIOS

PRÁCTICO: : POLINOMIOS Página: 1 APUNTE TEÓRICO-PRÁCTICO PRÁCTICO: : POLINOMIOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Razonamiento y Resolución de Problemas Carreras: Lic. en Economía, Lic. en Administración, Lic. en

Más detalles

Curso Completo de Electrónica Digital

Curso Completo de Electrónica Digital CURSO Curso Completo de Electrónica Digital Departamento de Electronica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid Prof. Juan González Gómez 4.3. Diseño de circuitos combinacionales

Más detalles

Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad

Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad y Laterales Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: y Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico y Esquema Laterales 1 Laterales 2 y Esquema Laterales

Más detalles

Sabes cómo simplificar una expresión con fracciones utilizando propiedades? Echa un vistazo a este dilema.

Sabes cómo simplificar una expresión con fracciones utilizando propiedades? Echa un vistazo a este dilema. Materia: Matemática de Octavo Tema: Propiedades de la Adición y la Multiplicación en Q Sabes cómo simplificar una expresión con fracciones utilizando propiedades? Echa un vistazo a este dilema. Para simplificar

Más detalles

Polinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +...

Polinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +... Polinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +... + a 1 x 1 + a 0 Siendo a n, a n -1... a 1, a o números,

Más detalles

Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023

Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023 Programa Inmersión, Verano 2016 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023 Clase #3: jueves, 2 de junio de 2016. 3 Decimales 3.1 Sistema de numeración

Más detalles

Unidad 1 Números. Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto.

Unidad 1 Números. Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto. Unidad 1 Números 1.- Números Naturales Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto. El conjunto de números naturales se representa por la letra N Operaciones

Más detalles

Funciones Lógicas Y Métodos De Minimización

Funciones Lógicas Y Métodos De Minimización Circuitos Digitales I Tema III Funciones Lógicas Y Métodos De Minimización Luis Tarazona, UNEXPO Barquisimeto EL-3213 Circuitos Digitales I - 2004 75 Funciones lógicas Circuito combinacional: Un circuito

Más detalles

Desde la secundaria estamos acostumbrados a trabajar con polinomios, los cuales identificamos con expresiones de la forma

Desde la secundaria estamos acostumbrados a trabajar con polinomios, los cuales identificamos con expresiones de la forma Polinomios Desde la secundaria estamos acostumbrados a trabajar con polinomios, los cuales identificamos con expresiones de la forma p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n (1) donde x es la variable y a 0,

Más detalles

2.1. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable x)

2.1. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable x) Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función.. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable ) La forma de comportarse una función para valores muy grandes

Más detalles

Generación de funciones lógicas mediante multiplexores

Generación de funciones lógicas mediante multiplexores Generación de funciones lógicas mediante multiplexores Apellidos, nombre Martí Campoy, Antonio (amarti@disca.upv.es) Departamento Centro Informática de Sistemas y Computadores Universidad Politécnica de

Más detalles

Método de simplificación de funciones lógicas utilizando el método de Quine McCluskey

Método de simplificación de funciones lógicas utilizando el método de Quine McCluskey Método de simplificación de funciones lógicas utilizando el método de Quine McCluskey Página 1 Página 2 Willard Van Orman Quine Matemático y filosofo. En los últimos años ha impactado la lógica matemática,

Más detalles

TEMA 2. En esta unidad didáctica se da un repaso teórico general y se realizan una serie de actividades sencillas de aplicación.

TEMA 2. En esta unidad didáctica se da un repaso teórico general y se realizan una serie de actividades sencillas de aplicación. FRACCIONES TEMA 2 INTRODUCCIÓN Para aplicar esta unidad didáctica es conveniente que ya se hayan estudiado las fracciones en clase de forma tradicional, es decir, empleando la pizarra, el papel y el lápiz.

Más detalles

Curso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición

Curso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición Curso de Matemática Unidad 2 Profesora: Sofía Fuhrman Operaciones Elementales II: Potenciación Definición a n = a. a.a a multiplicado por sí mismo n veces. a) Regla de los signos Exponente Par Exponente

Más detalles

Lección 13: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones

Lección 13: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 1: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones En la lección anterior hemos visto cómo resolver gráficamente un sistema de ecuaciones. Si bien ese método es relativamente

Más detalles

Álgebra Booleana y Simplificación Lógica

Álgebra Booleana y Simplificación Lógica Álgebra Booleana y Simplificación Lógica M. en C. Erika Vilches Parte 1 Operaciones Booleanas y Expresiones Variable, complemento y literal son los términos utilizados en álgebra booleana. Variable símbolo

Más detalles

Diseño combinacional (Parte #2) Mapas de Karnaugh

Diseño combinacional (Parte #2) Mapas de Karnaugh Departamento de Electrónica Electrónica Digital Diseño combinacional (Parte #2) Mapas de Karnaugh Facultad de Ingeniería Bioingeniería Universidad Nacional de Entre Ríos Procedimiento de diseño de un circuito

Más detalles

Algebra de Boole. Algebra de Boole. Ing. José Alberto Díaz García. EL - 3307 Diseño Lógico. Página 1

Algebra de Boole. Algebra de Boole. Ing. José Alberto Díaz García. EL - 3307 Diseño Lógico. Página 1 Página 1 Simplificación de circuitos Como los circuitos lógicos son representaciones de funciones lógicas, se pueden utilizar los recursos disponibles para simplificarlos y así reducir la cantidad de componentes

Más detalles

La Lección de hoy es sobre las Matrices: Suma, Resta, y Multiplicación Escalar.

La Lección de hoy es sobre las Matrices: Suma, Resta, y Multiplicación Escalar. Matrices DIP.5.A1.2-Jennifer Schreit La Lección de hoy es sobre las Matrices: Suma, Resta, y Multiplicación Escalar. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante DIP.5.A1.2 Primeramente

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Productos notables

Profr. Efraín Soto Apolinar. Productos notables Productos notables Cuando realizamos operaciones entre polinomios con el fin de resolver problemas, es muy frecuente encontrar algunas operaciones que por su naturaleza, aparecen en muchos fenómenos. Debido

Más detalles

Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones

Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones 1. El álgebra El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números y letras con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, potencias

Más detalles

Tema 1. Álgebra lineal. Matrices

Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 1 Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 0.1 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos

Más detalles

Expresiones algebraicas y ecuaciones. Qué es una expresión algebraica? Valor numérico de una expresión algebraica. Algebra

Expresiones algebraicas y ecuaciones. Qué es una expresión algebraica? Valor numérico de una expresión algebraica. Algebra Expresiones algebraicas y ecuaciones Melilla Qué es una expresión algebraica? Los padres de Iván le han encargado que vaya al mercado a comprar 4 kg de naranjas y 5 kg de manzanas. Pero no saben lo que

Más detalles

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las

Más detalles

Uso de representaciones geométricas para facilitar la transición de la aritmética al álgebra 1

Uso de representaciones geométricas para facilitar la transición de la aritmética al álgebra 1 Docencia Uso de representaciones geométricas para facilitar la transición de la aritmética al álgebra 1 Alfinio Flores Peñafiel Arizona State University recibido: noviembre de 1998 publicado: febrero del

Más detalles

21. Círculo y recta Matemáticas II, 2012-II. Por qué el círculo y la recta son tan importantes?

21. Círculo y recta Matemáticas II, 2012-II. Por qué el círculo y la recta son tan importantes? . Círculo recta Matemáticas II, -II. Círculo recta Por qué el círculo la recta son tan importantes? Los dos objetos geométricos más importantes aparte del punto son sin duda la recta el círculo. La recta

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas

Más detalles

TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II

TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas

Más detalles

Determinantes. Primera definición. Consecuencias inmediatas de la definición

Determinantes. Primera definición. Consecuencias inmediatas de la definición Determinantes Primera definición Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de cada fila y de

Más detalles

k k N b Sistemas Númericos Sistemas con Notación Posicional (1) Sistemas con Notación Posicional (2) Sistemas Decimal

k k N b Sistemas Númericos Sistemas con Notación Posicional (1) Sistemas con Notación Posicional (2) Sistemas Decimal Sistemas con Notación Posicional (1) Sistemas Númericos N b = a n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 +... + a 0 *b 0 +a -1 *b - 1 + a -2 *b -2 +... + a -m *b -m Sistemas con Notación Posicional (2) N b : Número en

Más detalles

UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES

UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES 1. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. 2. LECTURA, ESCRITURA, DESCOMPOSICIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS NATURALES. 3. SUMA DE NÚMEROS NATURALES. PROPIEDADES. 4. RESTA

Más detalles

Lección 5.1: Matrices y determinantes. Primeros conceptos. Objetivos de esta lección

Lección 5.1: Matrices y determinantes. Primeros conceptos. Objetivos de esta lección Matemáticas Tema 5: Conceptos básicos sobre matrices y vectores Objetivos Lección 5.: y determinantes Philippe Bechouche Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Granada 3 4 phbe@ugr.es 5 Qué

Más detalles

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 1.- Discutir el siguiente sistema, según los valores de λ: Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. Universidad de Andalucía SOLUCIÓN: Hay cuatro ecuaciones y tres incógnitas,

Más detalles

TEMA 6. ALGEBRA DE BOOLE

TEMA 6. ALGEBRA DE BOOLE http://www.tech-faq.com/wp-content/uploads/images/integrated-circuit-layout.jpg IEEE 25 Aniversary: http://www.flickr.com/photos/ieee25/with/289342254/ TEMA 6 - ALGEBRA DE BOOLE Y FUNCIONES LÓGICASL 6..

Más detalles

TEMA 6 ECUACIONES DE PRIMER GRADO

TEMA 6 ECUACIONES DE PRIMER GRADO Nueva del Carmen,. 0 Valladolid. Tel 98 9 6 9 Fa 98 89 96 Matemáticas º ESO TEMA 6 NOMBRE Y APELLIDOS... HOJA - FECHA... Comenzamos en este tema a resolver ecuaciones. Primero de Primer grado. Luego vendrán

Más detalles

Tema 2. Funciones Lógicas. Algebra de Conmutación. Representación de circuitos digitales. Minimización de funciones lógicas.

Tema 2. Funciones Lógicas. Algebra de Conmutación. Representación de circuitos digitales. Minimización de funciones lógicas. Tema 2. Funciones Lógicas Algebra de Conmutación. Representación de circuitos digitales. Minimización de funciones lógicas. Álgebra de conmutación Algebra de Conmutación: Postulados y Teoremas. Representación

Más detalles

Lección 2-Multiplicación de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 2-Multiplicación de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 2-Multiplicación de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Multiplicarán correctamente diferentes polinomios dados Aplicarán

Más detalles

Convertir unidades de longitud Determinar el perímetro de triángulo y cuadrilátero Determinar el volumen de prismas rectos.

Convertir unidades de longitud Determinar el perímetro de triángulo y cuadrilátero Determinar el volumen de prismas rectos. Colegio Preuniversitario Dr. Luis Alfredo Duvergé Mejía Listado de contenidos en matemática a estudiar para ingresar al 6to Grado Nivel Básico. Números y operaciones. Leer y escribe los números de mayores

Más detalles

Tema 3: Sistemas Combinacionales

Tema 3: Sistemas Combinacionales Ejercicios T3: Sistemas Combinacionales Fundamentos de Tecnología de Computadores Tema 3: Sistemas Combinacionales 1. Analizar el siguiente circuito indicando la expresión algebraica que implementa, la

Más detalles

f (x) (1+[f (x)] 2 ) 3 2 κ(x) =

f (x) (1+[f (x)] 2 ) 3 2 κ(x) = MATEMÁTICAS II - EXAMEN PRIMER PARCIAL - 4/11/11 Grado: Ing. Electrónica Rob. y Mec. Ing. Energía Ing. Organización Ind. Nombre y Apellidos: Ejercicio 1. La curvatura de una función f en un punto x viene

Más detalles

UNIDAD 2 COMPUERTAS LOGICAS

UNIDAD 2 COMPUERTAS LOGICAS UNIDAD 2 TABLA DE CONTENIDO. 2.1 Qué es Electrónica Digital. 30 2.2 Álgebra de booleana. 31 2.3 Operación booleana y compuertas lógicas. 31 2.4 Inversión o negación (complemento). 32 2.5 Suma booleana

Más detalles

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción Actividad 6. Operaciones básicas. Introducción En actividades anteriores ya aprendimos que el conjunto de números con los que trabajaremos a lo largo de este curso es el Conjunto de Números Reales, también

Más detalles

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a) Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:

Más detalles

Ecuaciones trigonométricas resueltas

Ecuaciones trigonométricas resueltas Ecuaciones trigonométricas resueltas 1. Resuelve: sen 2 x cos 2 x= 1 2 Despejando el coseno de x de la primera relación fundamental, se tiene: Sustituyendo en la ecuación original: sen 2 x 1sen 2 x= 1

Más detalles

3.- LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS

3.- LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS 3.1 Las fracciones. 3.- LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS Una fracción es la representación de un reparto, y la utilizamos comúnmente más de lo que parece, por ejemplo: en la compra, cuando decimos medio kilo

Más detalles

GUIA DE COMPONENTE PRACTICO

GUIA DE COMPONENTE PRACTICO GUIA DE COMPONENTE PRACTICO Con el propósito de fomentar el desarrollo de habilidades en el diseño e implementación física de circuitos digitales, se ha diseñado un componente práctico que será desarrollado

Más detalles

3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES

3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES 3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI Un polinomio con indeterminada x es una expresión de la forma: Los números

Más detalles

Desarrollo Algebraico

Desarrollo Algebraico Capítulo 4 Desarrollo Algebraico E n el presente capítulo aprenderás técnicas para simplificar expresiones algebraicas, reduciendo la mayor cantidad de términos de cada expresión para lograr una apariencia

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas real de con Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura real de con Índice real de con real de con.

Más detalles

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. TEMA 1.- MATRICES 1.-Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la

Más detalles

Resolución. Resolución gráfica de problemas de optimización

Resolución. Resolución gráfica de problemas de optimización Resolución de problemas de optimización Para resolver mente un problema de optimización como éste empezamos representando sus restricciones con igualdad. (0, 4) (0, 4) (4, 0) Para resolver mente un problema

Más detalles

PRÁCTICAS DE ELECTRÓNICA DIGITAL

PRÁCTICAS DE ELECTRÓNICA DIGITAL PRÁCTICAS DE ELECTRÓNICA DIGITAL Práctica 0: CONEXIÓN DE LOS CIRCUITOS INTEGRADOS (C.I.) 1º: Para que funcionen correctamente, han de estar conectados a una tensión de 5V. Para realizar esto, el polo (+)

Más detalles

Números enteros. 1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

Números enteros. 1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero. Números enteros Son el conjunto de números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales (+1, +2, +3,...), enteros negativos (-1, -2, -3,.)

Más detalles

5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES

5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES EJERCICIOS PARA ENTRENARSE División y regla de Ruffini 5.26 Realiza estas divisiones. a) (12x 2 yz 6xy 3 8xyz 2 ) (2xy) b) (15x 4 3x 3 9x 2 ) (3x 2 ) c) (5a 3 b 2 10ab 2 15a 3 b 4 ) (5ab 2 ) a) (12x 2

Más detalles

Los números naturales son aquellos números que utilizamos para contar. cosas. Los números naturales empiezan en el 0 y nunca se acaban.

Los números naturales son aquellos números que utilizamos para contar. cosas. Los números naturales empiezan en el 0 y nunca se acaban. DEFINICIÓN Los números naturales son aquellos números que utilizamos para contar cosas. Los números naturales empiezan en el 0 y nunca se acaban. Los números naturales se usan para la el DNI, los números

Más detalles

Series y sucesión lineal

Series y sucesión lineal Series y sucesión lineal En la naturaleza muchas veces aparecen las sucesiones de números. Por ejemplo, cuando el hombre tuvo la necesidad de contar, tuvo que inventar un conjunto de números que le sirviera

Más detalles

SESIÓN 1 PRE-ALGEBRA, CONCEPTOS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS

SESIÓN 1 PRE-ALGEBRA, CONCEPTOS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS SESIÓN 1 PRE-ALGEBRA, CONCEPTOS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS I. CONTENIDOS: 1. Introducción: de la aritmética al álgebra. 2. Números reales y recta numérica. 3. Operaciones aritméticas básicas con

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: RADICACION Año escolar: 3er. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com

Más detalles

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Resúmenes de Matemáticas para la E.S.O. ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se

Más detalles

SUDOMATES DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

SUDOMATES DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN SUDOMATES DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Observaciones: En la página de este blog titulada SUDOMATES se explica cómo se puede aprovechar la atracción de los sudokus entre muchos de nuestros alumnos, para

Más detalles

Repaso de Álgebra. Los subconjuntos de los reales de relevancia para nuestra discusión serán denotados según indicamos a continuación:

Repaso de Álgebra. Los subconjuntos de los reales de relevancia para nuestra discusión serán denotados según indicamos a continuación: Repaso de Álgebra Preliminares: En esta sección trabajaremos con los siguientes temas: I Los números reales: racionales e irracionales II Valor absoluto: nociones básicas III Expresiones algebraicas: evaluación,

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se llaman igualdades, y ponen de manifiesto

Más detalles

Tabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x)

Tabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x) Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Tabla de Derivadas Función Derivada Función Derivada y k y 0 y y y y y f ) y f ) f ) y n y n n y f ) n y n f ) n f ) y y n y y f ) y n n+ y f ) n y f ) f )

Más detalles

Determinante de una matriz

Determinante de una matriz 25 Matemáticas I : Preliminares Tema 3 Determinante de una matriz 31 Determinante de una matriz cuadrada Definición 67- Sea A una matriz cuadrada de orden n Llamaremos producto elemental en A al producto

Más detalles

EIE 446 - SISTEMAS DIGITALES Tema 4: Algebra de Boole y Simplificación Lógica. Nombre del curso: Sistemas Digitales Nombre del docente: Héctor Vargas

EIE 446 - SISTEMAS DIGITALES Tema 4: Algebra de Boole y Simplificación Lógica. Nombre del curso: Sistemas Digitales Nombre del docente: Héctor Vargas EIE 446 - SISTEMAS DIGITALES Tema 4: Algebra de Boole y Simplificación Lógica Nombre del curso: Sistemas Digitales Nombre del docente: Héctor Vargas OBJETIVOS DE LA UNIDAD Aplicar las leyes y reglas básicas

Más detalles

Lección 10: Representación gráfica de algunas expresiones algebraicas

Lección 10: Representación gráfica de algunas expresiones algebraicas LECCIÓN Lección : Representación gráfica de algunas epresiones algebraicas En la lección del curso anterior usted aprendió a representar puntos en el plano cartesiano y en la lección del mismo curso aprendió

Más detalles

FUNCIONES CONDICIONALES EN EXCEL

FUNCIONES CONDICIONALES EN EXCEL FUNCIONES CONDICIONALES EN EXCEL FORMATO CONDICIONAL, 2 FUNCION CONTAR.SI, 3 FUNCION SI, 1 FUNCION SUMAPRODUCTO, 4 FUNCION SUMAR.SI, 5 1. FUNCION SI La función SI permite evaluar una condición, en el caso

Más detalles

3.2. Conceptos generales. (A) Una fracción es el cociente, razón o división de dos números enteros. El dividendo se llama

3.2. Conceptos generales. (A) Una fracción es el cociente, razón o división de dos números enteros. El dividendo se llama 3. NÚMEROS RACIONALES. 3.1. Introducción. Expresiones comunes tales como "un tercio de cerveza", "medio litro de agua", "tres cuartos de kilo de carne", "son las doce cuarto",... no pueden ser representadas,

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA Facultad de Ingeniería EAP INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA Facultad de Ingeniería EAP INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA Facultad de Ingeniería EAP INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINATORIOS USANDO EL CONVERTIDOR LOGICO DIGITAL PARA APLICACIONES EN SISTEMAS DIGITALES

Más detalles

Suma de Potencias. Gastón Rafael Burrull Naredo. 22 de marzo de 2009. Resumen

Suma de Potencias. Gastón Rafael Burrull Naredo. 22 de marzo de 2009. Resumen Suma de Potencias de marzo de 9 Resumen En este documento veremos una explicación completamente detallada de algunas fórmulas básicas de sumatoria, como las sumas de los primeros n naturales, primeros

Más detalles

Lección 6: Factorización de Casos Especiales. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 6: Factorización de Casos Especiales. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 6: Factorización de Casos Especiales Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán polinomios que representan una Diferencia de

Más detalles

La función cuadrática

La función cuadrática La función cuadrática En primer semestre estudiamos las ecuaciones cuadráticas. También resolvimos estas ecuaciones por el método gráfico. Para esto, tuvimos que convertir la ecuación en una función igualándola

Más detalles

LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES (LGR)

LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES (LGR) LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES (LGR) DEFINICIÓN: El lugar geométrico de las raíces es la trayectoria formada por las raíces de una ecuación polinómica cuando un parámetro de ésta varía. En el caso de Sistemas

Más detalles

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 4. educción de orden allar un método para encontrar soluciones que formen un conjunto fundamental de la ED será nuestro trabajo en las siguientes secciones.

Más detalles

Guía Psu Matemáticas Aplicación de definiciones y propiedades básicas de Ángulos

Guía Psu Matemáticas Aplicación de definiciones y propiedades básicas de Ángulos Profesor: Guillermo Corbacho gcorbach@uc.cl Guía Psu Matemáticas Aplicación de definiciones y propiedades básicas de Ángulos 1. Sistemas de Medidas No vamos a definir lo que es un ángulo, pues tal concepto

Más detalles

Ámbito Científico y Tecnológico. Repaso de números enteros y racionales

Ámbito Científico y Tecnológico. Repaso de números enteros y racionales Ámbito Científico y Tecnológico. Repaso de números enteros y racionales 1 Prioridad de las operaciones Si en una operación aparecen sumas, o restas y multiplicaciones o divisiones, el resultado varía según

Más detalles

TEMA 8: MAGNITUDES PROPORCIONALES. PORCENTAJES

TEMA 8: MAGNITUDES PROPORCIONALES. PORCENTAJES TEMA 8: MAGNITUDES PROPORCIONALES. PORCENTAJES 1. Magnitudes Directamente Proporcionales Kg de café Precio ( ) 1 4 2 8 3 12 4 16 5 20 8 32 Estas dos magnitudes, peso en kg de café y su precio en, se dice

Más detalles

Divisibilidad y congruencias

Divisibilidad y congruencias Divisibilidad y congruencias Ana Rechtman Bulajich y Carlos Jacob Rubio Barrios Revista Tzaloa, año 1, número 2 Empecemos por explicar el significado de la palabra divisibilidad. En este texto vamos a

Más detalles

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1. Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con

Más detalles